1 Introducción

Queremos construir una noción de “categoría” en la cual la composición esté definida salvo homotopía, y en la que todas las elecciones necesarias formen espacios contractibles. Dicho de otro modo, la composición no tiene por qué ser estrictamente única, pero sí coherentemente única.

Propuesta. Ver las categorías como objetos simpliciales y distinguir entre ellos, los que satisfacen ciertas propiedades de levantamiento.

2 Categorías como objetos simpliciales

Generalmente las categorías se presentan informalmente como un conjunto de vertices y aristas. En esta sección formalizaremos esta idea, y mostraremos como esto es la clave para definir la noción de \(\infty \)-categoría. Comenzamos primero por repasar la noción de conjunto simplicial. Seguimos principalmente [ 1 ] y Kerodon.

2.1 Conjuntos simpliciales

Ciertos espacios se pueden describir combinatoriamente mediante un conjunto de vértices, aristas, triángulos, etc. y como estos se pegan entre sí.

Para formalizar esta idea, denotamos por \(\Delta \) la categoría cuyos objetos son los conjuntos

y cuyos morfismos son las aplicaciones crecientes. La categoría de conjuntos simpliciales es la categoría de funtores contravariantes de \(\Delta \) a \(\mathbf{Set}\):

Veamos como este formalismo captura la idea geométrica que mencionamos. Sea \(X\) un conjunto simplicial:

(Qué pegar?) Para todo \(n\in \mathbb N\), el conjunto \(X_n=X([n])\) se interpreta como el conjunto de

(Pegado) Para función creciente \(f\colon [m] \to [n]\), tenemos un mapeo

que especifica cuales \(m\)-dimensiones simplices se identifican con la \(f\)-cara del correspondiente simplice \(n\)-dimensional. Para \(0\leq k\leq n\), consideramos las funciones creciente que omite \(k\), denotadas por \(d^k\colon [n-1]\to [n]\). Denotamos \(d_k=X(d^k)\colon X_n\to X_{n-1}\) y llamamos a \(d_k\) la \(k\)-cara de \(X_n\).

Notamos que las cara de una cara es una cara se puede interpretar con \(X(g\circ f)=X(g)\circ X(f)\). Toda función estrictamente creciente \(f\colon [m]\to [n]\) se puede escribir como composición de \(k\)-caras. (Ejercicio I.1 de [ 1 ] )

(Visualización) La siguiente triangulación de la cinta de Möbius permite comparar su realización geométrica con los conjuntos \(X_2\), \(X_1\) y \(X_0\). Al seleccionar un triángulo o una arista se muestran sus caras correspondientes.

Podemos interpretar la idea que todo conjunto simplicial es una colección de símplices pegados entre sí usando la inmersión de Yoneda. De hecho,

permite identificar \(h_{[n]}\) con el \(n\)-símplice estándar \(\Delta ^n\). Así, \(\Delta \) aparece como una subcategoría plena de \(\mathbf{sSet}\). Ademas todo conjunto simplicial \(X\) se puede escribir como un colímite de símplices estándar [ 3 , Tag 04ZX ] . Esto es el hecho que la categoría de prehaces es cocompleta aplicado en este contexto [ 3 , Tag 03W2 ] .

2.2 El nervio de una categoría

Ahora que tenemos la noción de conjunto simplicial, veremos como una categoría se puede interpretar como un conjunto simplicial,y por ende, realizando la idea intuitiva de categorías como vertices y aristas.

En particular, \(\mathrm{N}([n])\cong \Delta ^n\). Este conjunto simplicial codifica la información de \(\mathcal C\) de la siguiente manera: un \(0\)-símplice de \(\mathrm{N}(\mathcal C)\) es un objeto de \(\mathcal C\), un \(1\)-símplice es un morfismo y un \(2\)-símplice contiene un par de morfismos componibles junto con su composición:

donde \(x_0=\sigma (0), x_1=\sigma (1), x_2=\sigma (2)\) y \(d_0(\sigma )=g\), \(d_1(\sigma )=g\circ f\) y \(d_2(\sigma )=f\).

El nervio admite un adjunto izquierdo

Partiendo de la adjunción y que todo conjunto simplicial es colímite de simplices podemos dar la siguiente descripción:

Concretamente, los objetos de \(\tau _1(X)\) son los elementos de \(X_0\). Los morfismo son elementos de \(X_1\) con ciertas relaciones impuestas por los \(2\)-símplices. Mas precisamente, los generadores de los morfismos son los elementos de \(X_1\): sean \(x_0,x_1\in X_0\) entonces un morfismo de \(x_0\) a \(x_1\) se puede representar diagramáticamente como

modulo la relación de equivalencia generada por los \(2\)-símplices: si \(\sigma \in X_2\) es un \(2\)-símplice con caras \(d_0(\sigma )=f\), \(d_1(\sigma )=g\) y \(d_2(\sigma )=h\):

Veremos en la proxima sección que si el conjunto simplicia \(X\) tiene buenas propiedades (por ejemplo, si es un es el nervio de una categoría!) esta los estas relaciones de equivalencia se simplifican y se pueden interpretar como una composición definida salvo homotopía.

3 Símplices, cuernos y \(\infty \)-categorías

En esta sección definimos esta noción de categoría con composición definida salvo homotopía. A partir un poco de lo visto en la sección precedente, podemos intuir que la noción de composición esta ligada a la existencia de rellenos de en nuestros conjuntos simpliciales. En esta sección formalizamos esta idea e iremos mas allá. Seguimos de cerca a [ 2 ] y [ 3 ] .

3.1 Cuernos

Para \(0\leq k\leq n\), el \(k\)-ésimo cuerno es el subobjeto

Es decir, se toma la frontera de \(\Delta ^n\) y se omite la cara opuesta al vértice \(k\). Si \(0{\lt}k{\lt}n\), se dice que \(\Lambda _k^n\) es un cuerno interior.

Para \(n=2\), el relleno de \(\Lambda _1^2\) expresa la existencia de la composición. La no unicidad de los rellenos codifica que la composición sólo está definida salvo homotopía; los rellenos de dimensiones superiores expresan las coherencias entre dichas homotopías.

3.2 Espacios de morfismos

Dados \(x,y\in \mathcal C_0\), el par \((x,y)\) se codifica como un mapa \(\partial \Delta ^1\to \mathcal C\). El conjunto de aristas de \(x\) a \(y\) es la fibra

Esta expresión debe enriquecerse simplicialmente para obtener el espacio de morfismos \(\operatorname {Map}_{\mathcal C}(x,y)\). Los distintos modelos de espacio de morfismos (izquierdo, derecho, etc.) son equivalentes bajo las hipótesis adecuadas.

La comparación con la homotopía topológica sugiere que las homotopías entre morfismos deben ser invertibles. Los rellenos de cuernos de dimensión \(3\) y superior controlan las homotopías entre homotopías y sus coherencias.

4 Categorías simpliciales y nervio coherente

4.1 Categorías enriquecidas

Una categoría simplicial es una categoría enriquecida en conjuntos simpliciales. Consta de un conjunto de objetos, conjuntos simpliciales \(\operatorname {Map}_{\mathcal C}(x,y)\) y composiciones

estrictamente asociativas y unitarias. Denotamos por \(\mathbf{sCat}\) la categoría de categorías simpliciales.

4.2 Los símplices coherentes \(C[\Delta ^n]\)

Para \(0\leq i\leq j\leq n\), sea

ordenado por inclusión. Se define la categoría simplicial \( C[\Delta ^n]\) por

La composición procede de la unión \(P_{j,k}\times P_{i,j}\to P_{i,k}\).

Por ejemplo, \(P_{0,2}=\{ \{ 0,2\} ,\{ 0,1,2\} \} \) y por tanto \(\operatorname {Map}_{ C[\Delta ^2]}(0,2)\cong \Delta ^1\). Para \(n=3\) aparecen cuadrados y cubos que parametrizan las distintas composiciones y las homotopías entre ellas.

4.3 Nervio coherente

Existe una adjunción

5 Álgebra de \(\infty \)-categorías

5.1 \(\infty \)-categorías de funtores

Sean \(K\) un conjunto simplicial y \(\mathcal C\) una \(\infty \)-categoría. Se define

Esta construcción organiza los funtores \(K\to \mathcal C\) y sus transformaciones naturales coherentes en un solo conjunto simplicial.

5.2 Operaciones categóricas

Una vez disponibles las \(\infty \)-categorías de funtores, pueden reformularse internamente muchas construcciones de la teoría ordinaria:

• límites y colímites;

• objetos presentables y \(\infty \)-categorías presentables;

• tensores y cotensores;

• estructuras monoidales simétricas.

La filosofía es reemplazar las igualdades estrictas por datos coherentes codificados simplicialmente. El reto no es sólo definir cada operación, sino verificar que el espacio de elecciones compatibles tiene el tipo de homotopía correcto.

Referencias

1

S. I. Gelfand y Y. I. Manin, Methods of Homological Algebra.

2

M. Groth, A short course on \(\infty \)-categories. Handbook of Homotopy Theory 2020.

3

Jacob Lurie, Kerodon, https://kerodon.net/,